home *** CD-ROM | disk | FTP | other *** search
/ SPACE 2 / SPACE - Library 2 - Volume 1.iso / utility / 1a / general / fractal.doc < prev    next >
Encoding:
Text File  |  1985-05-29  |  5.3 KB  |  142 lines
  1.     Permission to reprint or excerpt is granted only if the
  2. following line appears at the top of the article:
  3.  
  4.      ANTIC PUBLISHING INC.,COPYRIGHT 1986.  REPRINTED BY PERMISSION.
  5.  
  6.  
  7. FRACTALS FOR THE ATARI
  8.  
  9. BY CHARLES JACKSON, ANTIC PROGRAM EDITOR
  10.  
  11. (2/4/86: Excerpt from article that will appear in the
  12. April, 1986 issue of Antic Magazine.)
  13.  
  14.  
  15.    In the simplest of terms, fractals imitate nature.
  16.  
  17.    Fractal theory forms a primary link between mathematics
  18. and nature, a link that conventional mathematics had long
  19. been straining to achieve.
  20.  
  21.    Coastlines are not curves, trees are not tubes, and
  22. clouds are not globes.  All of these are fractal shapes
  23. which can be described and simulated with mathematical
  24. formulas.
  25.  
  26. WHAT IS A FRACTAL?
  27.  
  28.    Fractals are shapes which are "infinitely squiggly."
  29.  
  30.    Imagine a shape with an infinite perimeter (outer edge),
  31. but a finite area.  You might draw a circle around such a
  32. shape in a moment, but you'd need an eternity to trace it
  33. precisely.
  34.  
  35.    The coastline of Britain is a popular example of a
  36. fractal.  In the following mental exercise, our task will
  37. be to find the exact length of this coastline.
  38.  
  39.    This is not as simple as it sounds.  Coastlines are
  40. usually quite irregular, and cannot be represented with
  41. smooth curves.  Every inlet, bay and peninsula contributes
  42. to the total length of a coastline.
  43.  
  44.    We can estimate the length of a coastline with a
  45. satellite picture of the island.  Unfortunately, a
  46. photograph taken from that altitude would not show all of
  47. the bays and peninsulas which would contribute to the
  48. length of the coastline.
  49.  
  50.    So let's come a little closer.
  51.  
  52.    If we drove a car around the coastline of Britain,
  53. keeping our left wheels in the water and our right wheels
  54. on the beach, our total mileage would be a better estimate
  55. of its length.  But it would still be an estimate.  We'd
  56. still miss the hundreds of tiny bumps and irregularities
  57. too small to drive around accurately.
  58.  
  59.    We'd run into the same problem if we walked around the
  60. coastline, crawled around the coastline with a ruler, or
  61. measured every bit of the coastline through a microscope.
  62. No matter how closely you examined it, there would always
  63. be wrinkles and bulges beyond the range of your
  64. instruments, and these wrinkles and bulges would contribute
  65. to the coastline's length.
  66.  
  67.    In the real world, we can imagine "zooming in" on a
  68. coastline until we're looking at molecules and atoms.  In
  69. the realm of mathematics, we deal with numbers, and our
  70. imaginary "zoom lens" is no longer limited by the size of
  71. atomic particles.  We can "zoom-in" on a mathematical
  72. coastline infinitely.  The shape defined by such a
  73. coastline is called fractal.
  74.  
  75. EXAMPLE:
  76.  
  77.    Consider points A and B on this mathematical coastline.
  78. From a satellite picture taken at an altitude of 200 miles,
  79. we estimate that there are 10 miles of coastline between
  80. the two points.  A satellite picture taken at 100 miles
  81. reveals many smaller bays and peninsulas too small to be
  82. seen at higher levels.  From this new information, we now
  83. estimate the length of the coastline between A and B to be
  84. 15 miles.
  85.  
  86. HAUSDORFF DIMENSION
  87.  
  88.    Mathematicians put both estimates into a complex formula
  89. which yields a number called the Hausdorff Besicovitch
  90. dimension -- D.  The Hausdorff dimension acts like a ratio
  91. of the new estimate to the old estimate.  (In the previous
  92. example, D is approximately equal to 1.176.)
  93.  
  94.    In other words, if we are zooming in on a coastline at a
  95. constant speed, the Hausdorff dimension is proportional to
  96. the rate at which our coastline estimates grow.  If we
  97. discover only a handful of new bays and peninsulas each
  98. time we zoom, D will be slightly greater than one.
  99.  
  100.    On the other hand, if we discover a great many bays and
  101. peninsulas with each zoom, D will be slightly less than
  102. two.
  103.  
  104.    As D approaches two, however, the coastline become so
  105. irregular that our bays begin to close into lakes, and our
  106. peninsulas begin to split off into islands.  Since lakes
  107. and islands are not part of a coastline, D must be greater
  108. than one, but less than two.
  109.  
  110. JULIA FRACTAL CURVES
  111.  
  112.    Perhaps the most celebrated fractal shapes are the Julia
  113. Fractal Curves, nicknamed the Mandelbrot Set.  The fractal
  114. images in this issue are examples of such curves.
  115.  
  116.    The curves are created through an iterative process
  117. published in 1906 by French mathemeticians Gaston Julia and
  118. Pierre Fatou.
  119.  
  120.    An iterative process is a task done over and over again
  121. until one or more conditions are met.  A FOR-NEXT loop is a
  122. good example of an iterative process.
  123.  
  124.    By performing this iteration on every point on the
  125. computer screen, we can create our own Julia curves.  We
  126. can also vary our starting coordinates and the complex
  127. constant, u, to create an infinite variety of fractal
  128. shapes.
  129.  
  130.    The programs in the April issue of Antic Magazine will
  131. help you create your own Julia curves.
  132.    The fractal zoom program, written for 8-bit Atari
  133. computers, creates fractal shapes in a variety of graphics
  134. modes, and then lets you continually "zoom-in" on any part
  135. of them.
  136.  
  137.  The 3-D fractal
  138. program, written for the 520ST, creates striking
  139. three-dimensional fractal images which closely resemble
  140. rugged mountain ranges, colorful valleys and winding
  141. rivers.
  142. ə